Аннотация.

В данном курсе рассматриваются основные понятия и определения компьютерной геометрии. Это – различные виды сплайнов, используемых в компьютерной графике, кривые и поверхности Безье, B-сплайны, B-кривые (NURBS curves в англоязычной терминологии) и B-поверхности, поверхности Кунса, поверхности Гордона и т.п. Курс рассчитан на один год и предназначен для студентов специальностей «Математика. Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика» университетов, также курс будет интересен специалистам, работающим в прикладной компьютерной геометрии.

Перечень дисциплин и разделов, знание которых требуется для изучения данной дисциплины

Алгебра, аналитическая геометрия и начало дифференциальной геометрии и топологии.

Содержание курса

1. Гладкие кривые с вычислительной точки зрения
Приблизительная локальная форма кривой, определяемая кривизной и кручением. Формулы для кривизны и кручения кривой в произвольной параметризации. Восстановление пространственной кривой по ее проекциям на координатные плоскости. Приведение параметрического уравнения кривой к неявному виду.
2. Сплайны и кривые Безье
Построение сплайнов Эрмита и псевдоупругих сплайнов Эрмита. Кубические сплайны и их построение. Сплайны Лагранжа и Ньютона. Алгоритм де Кастелье построения кривой Безье. Операторная форма кривой Безье. Годографы кривых Безье. Деление кривых Безье. Увеличение числа опорных точек.
3. Поверхности Безье
Геометрический смысл поверхности Безье. Формулы вычисления координат точек на поверхности Безье. Деление поверхности Безье. Геометрические свойства поверхности Безье в угловой точки. Измельчение сетки при сохранении поверхности Безье.
4. Проективные (рациональные) кривые Безье
Операция рационального деления отрезка. Свойства рациональных кривых Безье. Деление рациональных кривых Безье. Увеличение числа опорных точек рациональной кривой Безье. Производные на концах рациональной кривой Безье. Рациональные поверхности Безье. Представление кривых второго порядка рациональными кривыми Безье второго порядка.
5. B-сплайны (бета-сплайны), B-кривые (бета-кривые) и B-поверхности
(бета-поверхности)
Постановка задачи. Разделенные разности и их свойства. Усеченная степенная функция. Рекуррентные соотношения для B-сплайнов. Алгоритмы вычисления радиус-вектора B-кривой и вычисления производных B-кривой. Алгоритм Де Бура вычисления радиус-вектора B-кривой. Интерполяция с помощью B-кривых. Представление кубического сплайна в виде B-кривой. B- поверхности.
6. Другие способы представления поверхностей в компьютерной
геометрии
Линейчатые поверхности. Секториальные поверхности. Поверхности Кунса. Поверхности, построенные по остову из кривых (поверхности Эрмита, Лагранжа, Гордона, тензорного произведения). Поверхности с треугольной параметрической областью.

Авторы курса

Курс подготовлен преподавателями механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова: академиком РАН, профессором А.Т. Фоменко, доцентом Г.В. Носовским, ассистентом Д.П. Ильютко.

Программа подготовлена в рамках деятельности консорциума "Геометрическое образование в новых информационных технологиях".